ДОСЛІДЖЕННЯ ПЕРШОЇ ОСНОВНОЇ ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ ДЛЯ ШАРУ З ТРЬОМА ПОЗДОВЖНІМИ ЦИЛІНДРИЧНИМИ ПОРОЖНИНАМИ

Анотація

Розв’язана перша основна задача теорії пружності для шару, який має поздовжні кругові нескінчені циліндричні порожнини. Шар – пружний однорідний ізотропний матеріал. На верхній та нижній поверхні шару задані зрівноважені напруження. Необхідно дослідити напружений стан тіла. Розв’язок просторової задачі теорії пружності отримано за допомогою узагальненого методу Фур’є, відносно рівнянь Ламе в циліндричних координатах, пов’язаних з циліндричними порожнинами та декартових координатах, пов’язаних з шаром. Задовольняючи крайовим умовам, отримані нескінчені системи лінійних алгебраїчних рівнянь, які розв’язано методом зрізання. В результаті отримані переміщення та напруження в різних точках тіла. Проведено числовий аналіз напруженого стану шару з трьома циліндричними порожнинами, проведений порівняльний аналіз з шаром, який має одну циліндричну порожнину. Виявлені найбільш небезпечні ділянки. Запропонований аналітико–числовий алгоритм розв’язання може використовуватись для розрахунку напруженого стану різного роду плит, деталей машин та інших просторових конструкцій, розрахункові схеми яких відповідають постановці задачі даної роботи.

The spatial problem of the theory of elasticity is solved for a layer in which three circular infinite cylindrical cavities are located parallel to each other and to the surface of the layer. Layer is an elastic homogeneous isotropic material. The stresses are set on the upper and lower surfaces of the layer. The condition for solving the problem is the fulfillment of the statics conditions, where the main vector and the main moment of the given stresses must be equal to zero. The aim of the work is to build an algorithm for solving the problem, select its parameters for the software, as well as study the stress state of the layer in places of stress concentration. The solution of the spatial problem of the theory of elasticity is obtained using the generalized Fourier method, relative to the Lamé equations in local cylindrical coordinates associated with cylindrical cavities and Cartesian coordinates associated with the layer. Satisfying the boundary conditions, infinite systems of linear algebraic equations are obtained, which are solved by the reduction method. As a result, stresses are obtained at various points in the layer. The high accuracy of the fulfillment of the boundary conditions gives grounds to assert that the solution to the problem by the proposed method can be found with any accuracy. A numerical analysis of the stress state of the body of a layer with three cylindrical cavities is carried out, the results of which are compared with the results of the stress state of a layer with one cylindrical cavity. The proposed solution method makes it possible to obtain with high accuracy the stress state in the spatial designed structures of plates, protective screens, for calculating machine parts, as well as for tunnels in rocks.